4.2　圆锥曲线的共同特征

1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为√2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为(　　)

A.√2 B.√2/2 C.1/2 D.√2/4

解析:结合题意,由椭圆的统一定义知e=(√2/2)/1=√2/2.

答案:B

2.设椭圆 x^2/m^2 +y^2/(m^2 "-" 1)=1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则点P到直线x=m2的距离为(　　)

A.6 B.2 C. 1/2 D.(2√7)/7

答案:B

3.已知双曲线 x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4√7 x的准线上,则双曲线的方程为(　　)

A.x^2/21-y^2/28=1B.x^2/28-y^2/21=1

C.x^2/3-y^2/4=1D.x^2/4-y^2/3=1

解析:因为双曲线 x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b/a x,所以 2b/a=√3.0①

　　又因为抛物线y2=4√7 x的准线为x=-√7,

　　所以c=√(a^2+b^2 )=√7.0②

　　由①②,得a2=4,b2=3.

　　故所求双曲线的方程为 x^2/4-y^2/3=1.

答案:D

4.我们把离心率等于"黄金分割比"(1+√5)/2 的双曲线称为"优美双曲线".设双曲线 x^2/a^2 -y^2/b^2 =1是优美双曲线,F是其左焦点,A是它的右顶点,B(0,b)是其虚轴上一点,则∠ABF等于(　　)

A.120° B.90° C.75° D.60°

解析:由e=c/a=(1+√5)/2 和点F(-c,0),A(a,0),B(0,b),可计算得(BF) ⃗·(BA) ⃗=0,故∠ABF=90°.

答案:B