1.3.2最大值与最小值

一、单选题

1．若函数f(x)=x^3-3ax-a在区间(0,1)内有最小值，则a的取值范围是（ ）

A．0≤a<1 B．0

C．-1

【答案】B

【解析】

【分析】

对f（x）进行求导，要求函数f（x）=x3-3ax-a在（0，1）内有最小值，说明f（x）的极小值在（0，1）内，从而讨论a与0大小，从而进行求解．

【详解】

令f^' (x)=3x^2-3a=0，由题意知a>0，得x=±√a，

∴0<√a<1，

∴0

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，注意本题（0，1）是开区间，不是闭区间，此题是一道中档题；

2．函数f(x)=3x-4x^3在[0,1]内的最大值是（ ）

A．1 B．1/2

C．0 D．-1

【答案】A

【解析】

【分析】

先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．

【详解】

∵f(x)=3x-4x^3，

∴f^' (x)=3-12x^2=-3(2x-1)⋅(2x+1)．

令f^'>0，得-1/21/2．

∴f(x)在区间(0, 1/2)上是单调递增的，在区间(1/2,1)上是单调递减的．

∴当x=1/2时，f(x)有最大值，最大值为1．

【点睛】

本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，属于基础题．

3．函数f(x)=x-sin x,x∈[π/2 ",π" ]的最大值是(　　).

A．π-1 B．π/2-1 C．π D．π+1

【答案】C

【解析】

【分析】