第2课时　导数与函数单调性的应用

1.命题甲:对任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命题乙:f(x)在区间(a,b)内递增,则甲是乙的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A

2.已知函数f(x)=x3-ax-1的递减区间是(-1,1),则a的取值范围是(　　)

A.a≥3 B.a≤0

C.a=3 D.a<3

解析:f'(x)=3x2-a,由题意知-1与1是方程3x2-a=0的两个解,所以a=3.

答案:C 学 Z 学 ]

3.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.[1,+∞) B.a=1

C.(-∞,1] D.(0,1)

解析:f'(x)=3x2-2ax-1.

　　∵f(x)在(0,1)内递减,

　　∴当x∈(0,1)时,f'(x)≤0恒成立,

　　即3x2-2ax-1≤0恒成立.

　　∴a≥(3x^2 "-" 1)/2x=3/2x-1/2x.

　　∵函数y=3/2x-1/2x在(0,1)上是增加的, 学 Z

　　∴0

答案:A

4.已知函数y=f(x)在R上可导,且不等式xf'(x)>-f(x)恒成立.若常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是(　　) ]

A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) 学 ]

C.af(a)

解析:令g(x)=xf(x),则g'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x).

　　∵xf'(x)>-f(x),∴xf'(x)+f(x)>0, ]

　　∴g'(x)>0,即g(x)在R上是增函数.

　　又a>b,∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b). 学 ]

答案:B

5.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1/2,则f(x)

A.{x|-1