1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

　　 设正方体的棱长为1，如图所示，以\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)为单位正交基底建立空间直角坐标系，

　　依题意，得B(1,0,0)，A1(0,0,1)，E(0,1，)，

　　所以\s\up6(→(→)＝(－1,0,1)，\s\up6(→(→)＝(－1,1，)，

　　设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·\s\up6(→(→)＝0，n·\s\up6(→(→)＝0得

　　所以x＝z，y＝z，令z＝2得，n＝(2,1,2)，

　　设F是棱C1D1上的一点，则F(t,1,1)(0≤t ≤1)，

　　又B1(1,0,1)，所以\s\up6(→(→)＝(t－1,1,0)，而B1F⊄平面A1BE，于是，

　　B1F∥平面A1BE⇔\s\up6(→(→)·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0，

　　所以2(t－1)＋1＝0，得t＝，

　　故F是C1D1的中点，

　　这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.

　　2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝2.

　　(1)求证：AC⊥BC1；

　　(2)在AB上是否存在点D，使AC1⊥CD?

(3)在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1?