§5 从力做的功到向量的数量积

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.下列命题中正确的个数有（ ）

①a·0=0 ②0·a=0 ③0-= ④|a·b|=|a||b| ⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0 ⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0 ⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2

A.7 B.5 C.4 D.2

解析：7个命题中只有③⑦正确.

对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；

对于②,应有0·a=0；对于④,由数量积定义，有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；

对于⑤,若非零向量a、b垂直，有a·b=0；

对于⑥,由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.

答案：D

2.已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为60°时，分别求a·b.

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，

∴a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18；

若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，

∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×（-1）=-18.

②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，

∴a·b=0.

③当a与b的夹角是60°时，有

a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.

3.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求a·b.

解：由定义，a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.给出下列命题：

①在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；

②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；

③△ABC是直角三角形·=0；

④△ABC是斜三角形一定有·≠0.

其中，正确命题的序号是____________________.

解析：①∵·<0，∴·=-·>0.∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.

②∵·>0，∴·=-·<0.∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.

③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠