大庆铁人中学高二年级上学期开学考试（数学）试题答案

一、选择题

1-6.DBDBBA 7-12.CABDCC

二、填空题

13.x－y＋3＝0　14. 15.() 16.

三、解答题

17.解：（1），，

代入已知等式得：，

整理得：，是三角形内角，.

（2）为三角形内角，，，

，

，，，由正弦定理得：．

18.解(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得

　　∴无论k取何值，直线l必经过定点(－2,1)．

(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有解得k＞0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．综上，k的取值范围是k≥0.

(3)依题意得A，B(0,1＋2k)，且，解得k＞0.

∴S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，

"＝"成立的条件是4k＝，此时k＝，∴Smin＝4，此时l的方程为x－2y＋4＝0.

19. (1)证明：连接OE，如图所示．

∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.

(2)取OC中点F，连接EF.

∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.

又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.

∴∠EOF为二面角E­BD­C的平面角，∴∠EOF＝30°.

在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，

∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a.∴VP­ABCD＝×a2×a＝a3.

20.解(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝.

在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.

(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.

又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，

∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，

所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.

在△CBD中，由正弦定理＝，得CD＝＝＝，

所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.