[基础达标]

　　命题"存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是________．(填序号)

　　①任意一个有理数，它的平方是有理数；

　　②任意一个无理数，它的平方不是有理数；

　　③存在一个有理数，它的平方是有理数；

　　④存在一个无理数，它的平方不是有理数．

　　解析："存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是"任意一个无理数，它的平方不是有理数"．

　　答案：②

　　命题"对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3"的否定是________．

　　解析：全称命题的否定是存在性命题．

　　答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

　　已知命题p：∃n∈N，2n>1 000，则﹃p为________．

　　解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而﹃p为∀n∈N，2n≤1 000.

　　答案：∀n∈N，2n≤1 000

　　已知命题："∃x∈[1，2]，使x2＋2x＋a≥0"是真命题，则a的取值范围是________．

　　解析：由已知得，∃x∈[1，2]，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min；而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.

　　答案：a≥－8

　　不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________．

　　解析：法一：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立；

　　结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.

　　法二：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max；而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为＝1，所以a>1.

　　答案：a>1

　　下列命题的否定为假命题的是________．

　　①∀x∈R，－x2＋x－1<0；

　　②∀x∈R，|x|>x；

　　③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；

　　④∃x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.

　　解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．

　　答案：①

　　下列命题中的真命题的个数是________．

　　①∃x∈R，使得sin x＋cos x＝；

　　②∃x∈(－∞，0)，2x<3x；

　　③∀x∈(0，π)，sin x>cos x.

　　解析：∵∀x∈R，sin x＋cos x≤；∀x∈(－∞，0)，2x>3x；sin＝cos，所以①②③都是假命题．

　　答案：0

已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是________．