5.3.3 反证法

一、单选题

1．已知x>0，由不等式x+1/x≥2√(x⋅1/x)=2, x+4/x^2 =x/2+x/2+4/x^2 ≥3⋅∛(x/2⋅x/2⋅4/x^2 )=3,......

可以推出结论x+a/x^n ≥n+1(n∈N^*),则a=

A．|OC|=|OM| B．a^2+〖(2a)〗^2=〖(a-3)〗^2+〖(2a-1)〗^2 C．a=1 D．n^n

【答案】D

【解析】

试题分析：分析所给等式的变形过程，均是先对左端变形，再利用基本不等式，得到右端；

所以，对于给出的等式，x+a/x^n ≥n+1(n∈N^*),则a1，要先将左端变形为x+a/x^n =x/n+x/n+......+x/n+a/x^n （共n+1项），应用基本不等式，必有x/n x/n......x/n a/x^n =a/n^n 为定值，可得a=nn，故选D．

考点：本题主要考查归纳推理，基本不等式的应用。

点评：中档题，注意分析各个式子的结构特征，从中发现规律性的东西，这是解题的关键。

2．用反证法证明"方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解"的假设中，正确的是（ ）

A.至多有一个解 B.有且只有两个解

C.至少有三个解 D.至少有两个解

【答案】C

【解析】

试题分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．

解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，

命题："方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解"的否定是："至少有三个解"，

故选C．

点评：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．

3．用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的．其假设应是（ ）

A.至少有5个球是同色的 B.至少有5个球不是同色的

C.至多有4个球是同色的 D.至少有4个球不是同色的