2.4　充要条件

课时过关·能力提升

1."x,y均为奇数"是"x+y为偶数"的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若x,y均为奇数,则x+y为偶数成立.

　　若x+y为偶数,则x,y也可能均为偶数.

　　故"x,y均为奇数"是"x+y为偶数"的充分不必要条件.

答案:A

2. 使得|x|=-x成立的一个充分不必要条件是(　　)

A.x≥0 B.x2≥-x

C.log2(x+1)>0 D.2x<1

解析:∵|x|=-x,∴x≤0.A选项显然错误;

　　B选项中,由x2≥-x可得x≥0或x≤-1;

　　C选项中,由x+1>0可得x>-1;

　　D选项中,由2x<1,可得x<0.故选D.

答案:D

3.下面命题是真命题的是(　　)

A.x>2且y>3是x+y>5的充要条件

B.A∩B≠⌀是A⫋B的充分条件

C.b2-4ac<0是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的充要条件

D.一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形

解析:对于选项A,x>2,且y>3⇒x+y>5,但x+y>5未必能推出x>2且y>3,如x=0且y=6满足x+y>5,但不满足x>2,故A为假命题.

　　对于选项B,A∩B≠⌀未必能推出A⫋B,如A={1,2},B={2,3},故B为假命题.

　　对于选项C,例如,一元二次不等式-2x2+x-1>0的解集为⌀,但满足b2-4ac<0,故C为假命题.

答案:D

4.平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⫋α,a∥β

C.存在两条平行直线a,b,a⫋α,b⫋β,a∥β,b∥α

D.存在两条异面直线a,b,a⫋α,b⫋β,a∥β,b∥α

解析:A选项中,α与β可能相交,故不是α∥β的充分条件;

　　B选项不能推出α∥β;

　　C选项中,直线a与b平行,也推不出α∥β;

　　而D选项中a与b异面,故可以推出α∥β.

答案:D

5. 在下列3个结论中,正确的有(　　)

①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;

②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;

③若a,b∈R,则"a2+b2≠0"是"a,b不全为0"的充要条件.

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

答案:C

6.设a,b都是非零向量,则"a·b=±|a||b|"是"a,b共线"的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:设=θ,a·b=|a||b|cos θ,当|a||b|cos θ=±|a||b|时,则cos θ=±1,θ=0或π,则a与b共线,若a,b共线,则=0或π,则a·b=±|a||b|.