3.2　平面向量基本定理

A组　基础巩固

1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数有(　　)

①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

解析看每一组的两个向量是否共线,若共线则不能作为基底,若不共线则可作为基底,∵4e2-2e1=-2(e1-2e2),∴第③组中的两个向量共线,不能作为基底.

答案C

2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基底,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为(　　)

A.λ=0 B.e2=0

C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0

解析因为e1,e2不共线,而a与b共线,所以λ=0.

答案A

3.设a,b为平面内所有向量的一组基底,已知向量(AB) ⃗=a-kb,(CB) ⃗=2a+b,(CD) ⃗=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　　)

A.2 B.-2

C.10 D.-10

解析(AD) ⃗=(AB) ⃗+(BC) ⃗+(CD) ⃗=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.

　　∵A,B,D三点共线,

　　∴存在实数λ使得(AB) ⃗=λ(AD) ⃗,

　　即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.

　　∵a,b为基底向量,

　　∴{■(2λ=1"," @λ"(" k+2")" =k"," )┤解得λ=1/2,k=2.

答案A

4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗=0,则(　　)

A.(AO) ⃗=(OD) ⃗ B.(AO) ⃗=2(OD) ⃗

C.(AO) ⃗=3(OD) ⃗ D.2(AO) ⃗=(OD) ⃗

解析由2(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗=0,得2(OA) ⃗=-((OB) ⃗+(OC) ⃗).

　　因为D是BC的中点,

　　所以(OB) ⃗+(OC) ⃗=2(OD) ⃗,

　　于是2(OA) ⃗=-2(OD) ⃗,

　　即(AO) ⃗=(OD) ⃗.

答案A

5.在△ABC中,点D在BC边上,且(CD) ⃗=2(DB) ⃗,(CD) ⃗=r(AB) ⃗+s(AC) ⃗,则r+s=(　　)

A.2/3 B.4/3 C.-3 D.0

解析由题意得(CD) ⃗=2/3 (CB) ⃗=2/3((AB) ⃗-(AC) ⃗)=2/3 (AB) ⃗-2/3 (AC) ⃗.

　　因为(CD) ⃗=r(AB) ⃗+s(AC) ⃗,所以r=2/3,s=-2/3,

　　所以r+s=0,故选D.

答案D

6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则k的值为　　　　　.

解析因为a,b不能作为一组基底,

　　所以存在实数λ,使得a=λb,

　　即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),

则6λ=3,且kλ=-4,