2.2　最大值、最小值问题

第1课时　利用导数求函数的最大(小)值

课时过关·能力提升

1.函数y=2x3-3x2-12x+4在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)

A.4,-16 B.-4,-16 C.4,16 D.-4,16

解析:y'=6x2-6x-12,由y'=0得,x=2或x=-1(舍),又f(0)=4,f(2)=-16,f(3)=-5,

　　故函数y在[0,3]上的最大值和最小值分别是4和-16.

答案:A

2.给出下面4个命题:

①函数y=x2-5x+4(-1≤x≤1)的最大值为10,最小值为-9/4;

②函数y=2x2-4x+1(2≤x≤4)的最大值为17,最小值为1;

③函数y=x3-12x(-3≤x≤3)最大值为16,最小值为-16;

④函数y=x3-12x(-2

其中正确命题的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:通过求最值易知②③④正确.

答案:C

3.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数),f(x)在[-2,2]上有最大值3,那么函数f(x)在[-2,2]上的最小值是(　　)

A.-37 B.-29

C.-5 D.以上都不对

解析:f'(x)=6x(x-2),

　　∵f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,∴当x=0时,f(x)=m最大,

　　∴m=3.∴f(-2)=-37,f(2)=-5.

　　∴最小值为-37.

答案:A

4.函数f(x)=1/(1"-" x"(" 1"-" x")" )的最大值是(　　)

A.4/5 B.5/4 C.3/4 D.4/3

答案:D

5.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=(f"(" x")" )/x在区间(1,+∞)上一定(　　)

A.有最小值 B.有最大值

C.是减少的 D.是增加的

解析:∵f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,∴a<1.

　　∴g(x)=(f"(" x")" )/x=x+a/x-2a,则g'(x)=1-a/x^2 =(x^2 "-" a)/x^2 .

　　∵x∈(1,+∞),a<1,∴x2-a>0,即g'(x)>0.

　　∴g(x)在(1,+∞)上是增加的.

答案:D

6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是(　　)

A.-13 B.-15 C.10 D.15

解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值,

　　知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.

　　由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上递减,在(0,1)上递增,

　　∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.

　　又f'(x)=-3x2+6x的图像开口向下,且对称轴为x=1,

　　∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.

故f(m)+f'(n)的最小值为-13.