2019-2020学年北师大版选修1-1 导数与函数的综合问题 课时作业

一、选择题

1．方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是(　　)

A．3　　　　　　　　 B．2

C．1 D．0

C　[设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1.]

2．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)

C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)

D　[∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－.

令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.

∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴实数a的取值范围为(－1，＋∞)．]

3．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为 (　　)

A．3.2% B．2.4%

C．4% D．3.6%

A　[设y表示收益，则存款量是kx2，贷款收益为0.048kx2，存款利息为kx3，则y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)，y′＝0.096kx－3kx2＝3kx(0.032－x)

令y′＝0得x＝0.032，且当x∈(0,0.032)时y′＞0，

当x∈(0.032,0.048)时y′＜0，因此收益y在x＝0.032时取得最大值，故选A．]

4．已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为(　　)

A．0 B．1

C．0或1 D．无数个

A　[因为g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上递增，因为g(0)＝1，y＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，g(x)＞g(0)＝1，所以g(x)在(0，＋∞)上无零点．]