课后导练

基础达标

1实数a,b,c不全为0的意义为（ ）

A.a,b,c均不为0

B.a,b,c中至多有一个为0

C.a,b,c中至少有一个为0

D.a,b,c中至少有一个不为0

答案:D

2设a,b,c都是正数，则三个数a+,b+,c+...（ ）

A.都大于2

B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2

D.至少有一个不大于2

解析:(反证法)设三者都小于2,

即a+<2,b+<2,c+<2,

∴(a+)+(b+)+(c+)<6.

但(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥=6.

推出矛盾,故原假设不成立,

即这三个数不都小于2.

答案:C

3设a,b,c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则"PQR>0"是"P,Q,R同时大于零"的... ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析:∵a,b,c∈R+,

∴P+Q=2b>0,P+R=2a>0,Q+R=2c>0,

当PQR>0时,P,Q,R中正数个数为1或3;

当有一个为正时,假设P>0,是Q,R<0Q+R<0,与R+Q>0矛盾.

故P,Q,R同时大于零.

若P,Q,R>0,则PQR>0.

故选C.

答案:C

4已知α,β∈(0,),且sin(α+β)=2sinα,求证:α<β.

证明:假设α<β不成立,则α≥β.

(1)若α=β,由sin(α+β)=2sinαsin2α=2sinα,从而cosα=1,这与α∈(0,)矛盾.

(2)若α>β,则sinα·cosβ+cosα·sinβ=2sinα,