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基础·巩固

1.已知a,b是给定的正数，则的最小值为（ ）

A.a2+b2 B.2ab C.(a+b)2 D.4ab

思路分析：我们可利用平均不等式处理本题，利用三角函数sinα,cosα分别与cscα,secα的倒数关系去掉分母，再利用平方关系1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α变形，最后利用平均不等式.

如果利用柯西不等式处理起来更方便,我们可以依照二维形式的柯西不等式进行构造.

=(sin2α+cos2α)()

≥(sinα·+cosα·)2

=(a+b)2.

答案：C

2.设x,y,m,n∈(0,+∞)，且=1，则x+y的最小值是（ ）

A.m+n B.4mn

C.()2 D.

思路分析：很容易误选，原因就是没注意等号成立的条件.利用二维的柯西不等式及其等号成立的条件，直接从x+y入手有点困难，所以把x+y看成(x+y)·1=(x+y)·()，进而可使条件、结论、选择支有机结合起来.

答案：C

3.设a>b>0，则的最小值为_______________.

思路分析：=(a-b)++b≥,当且仅当a-b=b=即a=2,b=1时等号成立.关键在把a+拆分成(a-b)++b.

答案：3

4.若0＜a,b,c＜1满足条件ab＋bc＋ca＝1，则的最小值是_________.

思路分析：设S=，则S≥.