5.2.1含有绝对值不等式的解法

一、单选题

1．|x|≤2是|x+1|≤1成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】分析：先化简|x|≤2和|x+1|≤1，再利用充要条件的定义判断.

详解：因为|x|≤2，所以-2≤x≤2.

因为|x+1|≤1，所以-1≤x+1≤1，所以-2≤x≤0.

因为-2≤x≤2成立，则-2≤x≤0不一定成立，所以|x|≤2是|x+1|≤1成立的非充分条件.

因为-2≤x≤0成立，则-2≤x≤2一定成立，所以|x|≤2是|x+1|≤1成立的必要条件.

所以|x|≤2是|x+1|≤1成立的必要不充分条件.

故答案为：B.

点睛：（1）本题主要考查解绝对值不等式和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法:定义法、集合法和转化法.

2．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是(　　)

A．(－∞，4) B．(－∞，1)

C．(1,4) D．(1,5)

【答案】A

【解析】

分析：令两个绝对值式子分别等于0，求出两个值1和5，将定义域分为三个区间，分别在三个区间内解不等式，最后取并集即可.

详解：分别令x-1=0、x-5=0，解得x=1、x=5，所以分段讨论：

当x≤1时，化简可得：-(x-1)+(x-5)<2，解得-4<2，恒成立，所以x≤1；

当1

当x>5时，化简得：(x-1)-(x-5)<2，解得4<2，不成立，所以为空集；

三种情况下的结果取并集，可得x<4，故选A.

点睛：绝对值不等式，一般需要分类讨论，在各自分段区间内取交集，然后整体去并集，注意端点值的取舍.此类选择题也可以通过代特殊值的方法去解.

3．若a>0使不等式|x-4|+|x-3|

A．(0,1) B．(0,1] C．(1,+∞) D．[1,+∞)