3.1.3　空间向量的数量积运算

课时过关·能力提升

基础巩固

1下列命题正确的是(　　)

A.|a|a=a2 B.(a·b)2=a2·b2

C.a(a·b)=a2b D.|a·b|≤|a b|

解析:A项左侧为向量,右侧为数,不正确.

　　向量数量积不满足结合律,故B,C不正确.

答案:D

2已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:∵p⊥q,且|p|=|q|=1,

　　∴a·b=(3p-2q)·(p+q)

　　=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.

答案:A

3设a,b,c是不共线的非零向量,已知下列命题:

①(a·b)c-(c·a)b=0;

②|a|-|b|<|a-b|;

③(b·a)c-(c·a)b不与a垂直;

④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.

其中正确的有(　　)

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

答案:D

4a,b是非零向量,"a·b=|a b|"是"a,b共线"的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由a·b=|a b|,知cos=1,

　　∴=0,∴a与b共线.反之,若a与b共线,则a·b=±|a b|.

答案:A

5若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角是(　　)