1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．

　　(1)求椭圆C的方程；

　　(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值 ，并求出该定值．

　　解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，

　　又a2＝b2＋c2，

　　所以a＝2，c＝，b＝1，

　　所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

　　(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为．

　　当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

　　A(x1，y1)，B(x2，y2)．

　　由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．

　　则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，

　　则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，

　　由OA⊥OB，得kOA·kOB＝－1，

　　即·＝－1，

　　所以x1x2＋y1y2＝＝0，

　　即m2＝(1＋k2)，满足Δ＞0．

　　所以原点O到直线AB的距离为＝．

综上，原点O到直线AB的距离为定值．