§4　用向量讨论垂直与平行

1.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-4,-8,4),则(　　)

A.α∥β B.α⊥β

C.α,β相交但不垂直 D.重合

解析:由题意知u=-1/4 v,∴α∥β.

答案:A

2.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则(　　)

A.l∥α B.l⊥α

C.l⫋α D.l与α相交(不垂直)

答案:B

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是异面直线AC和A1D的公垂线,则EF和BD1的关系是(　　)

A.垂直

B.异面不垂直

C.相交

D.平行或重合

解析:如图所示,连接B1C,由于EF是AC和A1D的公垂线,(A_1 D) ⃗∥(B_1 C) ⃗,则(EF) ⃗⊥(B_1 C) ⃗,(EF) ⃗⊥(AC) ⃗,即(EF) ⃗是平面AB1C的一个法向量.又可证明(BD_1 ) ⃗也是平面AB1C的一个法向量,故(EF) ⃗∥(BD_1 ) ⃗,即EF∥BD1.

答案:D

4.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为(1"," 1/2 "," 2),且l⊥α,则m的值为(　　)

A.1 B.2 C.4 D.-4

解析:∵l⊥α,∴l的方向向量与平面α的法向量共线.

　　∴(2,1,m)=λ(1"," 1/2 "," 2),解得m=4.

答案:C

5.在菱形ABCD中,若(PA) ⃗是平面ABCD的一个法向量,则以下等式中可能不成立的是(　　)

A.(PA) ⃗·(AB) ⃗=0

B.(PC) ⃗·(BD) ⃗=0

C.(PC) ⃗·(AB) ⃗=0

D.(PA) ⃗·(CD) ⃗=0