2.2.2 反证法
填一填 1.反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
2.反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
判一判 1.反证法属于间接证明问题的方法.(√)
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.(×)
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.(√)
想一想 1.反证法的一般步骤是什么?
提示:第一步,写出与命题结论q相矛盾的假设非q;
第二步,由非q出发,应用正确的推理,得出矛盾;
第三步,断定产生矛盾的原因在于所作的假设非q不成立,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题.
2.反证法解题的实质是什么?
提示:反证法实质是否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确.
由四种命题的相互关系可知,原命题"若p,则q"与命题"若非q,则非p"互为逆否命题,具有同真同假性,即等价性.根据这一结论,要证原命题"若p,则q"为真,可以改证逆否命题"若非q,则非p"为真,这种证明方法即为反证法.也就是说,若非q(即否定结论,假设结论的反面成立),则非p(经过推理论证,得出与题设条件相矛盾的结论),从而根据等价性原则,肯定原命题成立.
3.用反证法证题需要把握哪些?
提示:(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.