课时跟踪训练(十三)　抛物线的几何性质

　　1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．

　　解析：因为抛物线y2＝2px，

　　所以准线为x＝－.

　　因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，

　　所以＝4，所以p＝4，

　　所以抛物线的标准方程为y2＝8x.

　　答案：y2＝8x

　　2．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．

　　解析：抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.

　　答案：2

　　3．过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有________条．

　　解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，再与y2＝4x联立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k≠0时，由Δ＝0可得k＝1，此时有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．

　　答案：3

　　4．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝4OF，△MFO的面积为4，则抛物线方程为________．

　　解析：不妨设M在第一象限，依题意，设M(x，y)，OF＝，

　　所以MF＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，

　　又△MFO的面积为4，

　　所以××p＝4，

　　解得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.

答案：y2＝8x