第10课时　圆锥曲线的综合应用

基础达标(水平一 )

1.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y^2/m=1的离心率是(　　).

　　A.√3/2 B.√5 C.√3/2或√5/2 D.√3/2或√5

　　【解析】因为m=±4,当m=4时,离心率为√3/2,当m=-4时,离心率为√5,故选D.

　　【答案】D

2.下列说法中不正确的是(　　).

　　A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值4/9,则动点P的轨迹为双曲线的一部分

　　B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算" ":m n=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,则动点P(x,√(x" " a))的轨迹是抛物线的一部分

　　C.已知圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆

　　D.已知点A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线

　　【解析】A选项中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分;B选项中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分;C选项中符合椭圆定义是正确的;D选项中应为双曲线一支.故选D.

　　【答案】D

3.已知A是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的左顶点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心,若(GA) ⃗=λ(PF_1 ) ⃗,则双曲线的离心率为(　　).

　　A.2 B.3

　　C.4 D.与λ的取值有关

　　【解析】因为(GA) ⃗=λ(PF_1 ) ⃗,所以(GA) ⃗∥(ΡF_1 ) ⃗,所以("|" OA"|" )/("|" OF_1 "|" )=("|" OG"|" )/("|" OP"|" )=1/3,即a/c=1/3,所以e=c/a=3,故选B.

　　【答案】B

4.已知椭圆的中心在原点,离心率e=1/2,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆的方程为(　　).

　　A.x^2/4+y^2/3=1 B.x^2/8+y^2/6=1

　　C.x^2/2+y2=1 D.x^2/4+y2=1

　　【解析】∵抛物线的焦点为(-1,0),∴c=1.

　　又椭圆的离心率e=1/2,∴a=2,b2=a2-c2=3,

　　∴椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1,故选A.

　　【答案】A

5.若双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段,则此双曲线的离心率为　　　　.

【解析】因为抛物线的焦点坐标为(b/2 "," 0),由题意知(b/2 "-(-" c")" )/(c"-" b/2)=5/3,解得c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,所以2a=√3c,故e=c/a=(2√3)/3.