4.1.2 函数的极值

　　(建议用时：45分钟)

　　[学业达标]

　　一、选择题

　　1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图4­1­5所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有(　　)

　　图4­1­5

　　A．1个 B．2个

　　C．3个 D．4个

　　【解析】　y＝f′(x)的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴f(x)在开区间(a，b)内有3个极值点．

　　【答案】　C

　　2．函数f(x)＝1＋3x－x3(　　)

　　A．有极小值，无极大值 B．无极小值，有极大值

　　C．无极小值，无极大值 D．有极小值，有极大值

　　【解析】　∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.

　　当x∈(－1,1)时f′(x)>0，

　　∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；

　　同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．

　　∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.

　　【答案】　D

　　3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　)

　　A．(－3,6) B．[－3,6]

　　C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－3]∪[6，＋∞)

　　【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由题意可知f′(x)＝0没有实根或有两个相等实根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故选B.

　　【答案】　B

4．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图4­1­6所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　　)