[基础达标]

若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则m的取值范围是________．

解析：设f(x)＝x2－4x，当x∈[0，1]时，f′(x)＝2(x－2)<0恒成立，所以f(x)在[0，1]上是单调递减的，

∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.

答案：(－∞，－3]

若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为________．

解析：f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x＋1)(x－3)．

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3，

f(－1)＝1＋3－9＋a＝a－5，

f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.

由题意知f(x)max＝f(－2)＝2＋a＝2，

∴a＝0，∴f(x)min＝f(－1)＝a－5＝－5.

答案：－5

函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，

令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，

∵函数f(x)有极大值和极小值，

∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，

即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.

答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)

函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)，x∈[0，1]的值域为________．

解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x>0，所以f(x)在[0，1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin 1＋cos 1)]．

答案：[，e(sin 1＋cos 1)]

设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________．

解析：MN的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点，也是最小值点，故t＝.

答案：

给出下面三个命题：

①函数y＝2x2－4x＋1(－2

②函数y＝x3－12x(－3

③函数y＝x3－12x(－2

其中正确命题的个数是________．

解析：①f′(x)＝4x－4，令f′(x)＝0，得x＝1.

若x∈(1，4)，则f′(x)>0；

若x∈(－2，1)，则f′(x)<0.

∴x＝1是函数f(x)的极小值点，也是函数f(x)的最小值点．

∴f(x)min＝f(1)＝－1.