2.2　导数的几何意义

课时过关·能力提升

1.下列说法正确的是(　　)

A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点

B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点

C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线

D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在

解析:曲线的切线和曲线除有一个公共切点外,还可能有其他的公共点,故A,B错误;f'(x0)不存在,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率不存在,但切线可能存在,此时切线方程为x=x0,故C错误,D正确.

答案:D

2.已知曲线y=1/2x2-2上一点P(1",-" 3/2),则在点P的切线的倾斜角为(　　)

A.30° B.45° C.135° D.165°

解析:∵f'(1)=lim┬(Δx"→" 0) (f"(" 1+Δx")-" f"(" 1")" )/Δx

　　=(lim)┬(Δx"→" 0) ( 1/2 "(" 1+Δx")" ^2 "-" 2"-" (1/2 "-" 2))/Δx

　　=lim┬(Δx"→" 0) (1/2 Δx+1)=1,

　　∴k=1.

　　又∵k=tan α=1,∴α=45°.

答案:B

3.设f(x)为可导函数,且满足lim┬("-" 2x"→" 0) (f"(" 1")-" f"(" 1"-" 2x")" )/2x=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)

A.2 B.-1

C.1 D.-2

解析:(lim)┬("-" 2x"→" 0) (f"(" 1")-" f"(" 1"-" 2x")" )/2x=lim┬("-" 2x"→" 0) (f"(" 1"-" 2x")-" f"(" 1")" )/("-" 2x)

　　=lim┬("-" 2x"→" 0) (f"[" 1+"(-" 2x")]-" f"(" 1")" )/("-" 2x)=f'(1)=-1.

答案:B

4. 设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[π/4 "," π/2),则点P横坐标的取值范围为(　　)

A.("-∞," 1/2]B.[-1,0]

C.[0,1] D.["-" 1/2 "," +"∞" )

答案:D

5.已知曲线f(x)=x3+x-2在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则该切线的方程为(　　)

A.y=4x-4

B.y=4x或y=4x-4

C.y=4x+4或y=4x-4

D.y=4x

解析:设(x0,y0)是曲线的切点,则f'(x0)=3x_0^2+1=4,得x0=1或x0=-1,故切点坐标为(1,0)或(-1,-4),即所求的切线的方程为y=4x-4或y=4x.

答案:B

6.若曲线f(x)=2x2+3ax+b在(0,b)处的切线方程为x+y+1=0,则(　　)

A.a=-1/3,b=-1 B.a=1/3,b=-1

C.a=1/3,b=1 D.a=-1/3,b=1

解析:∵点(0,b)在直线x+y+1=0上,∴b=-1.

又f'(0)=3a=-1,∴a=-1/3.