1.4绝对值的三角不等式
一、单选题
1.设a>b>0,当a^2/2+2/(b(a-b)) 取得最小值c时,函数f(x)=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为( )
A.3 B.2√2 C.5 D.4√2
【答案】A
【解析】分析:根据基本不等式求最值c,并确定a,b取值,再根据绝对值定义去掉绝对值,结合分段函数图像确定最小值.
详解:因为b(a-b)≤〖((b+a-b)/2)〗^2=a^2/4,所以a^2/2+2/(b(a-b))≥a^2/2+8/a^2 ≥2√(a^2/2⋅8/a^2 )=4
当且仅当b=a-b,a^2/2=8/a^2 ,即a=2,b=1时取等号,此时c=4,
因为f(x)={█(7-3x,x≤1@5-x,1
因此当x=2时,f(x)取最小值为3.
选A.
点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意"拆、拼、凑"等技巧,使其满足基本不等式中"正"(即条件要求中字母为正数)、"定"(不等式的另一边必须为定值)、"等"(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
2.已知,则与的大小关系为( )
A. B.
C. D.不确定
【答案】B
【解析】 ,所以 ,故选B.
3.3.(2014•吉安二模)已知f(x)=|x﹣1|+|x+m|(m∈R),g(x)=2x﹣1,若m>﹣1,x∈[﹣m,1],不等式f(x)<g(x)恒成立,则实数m的取值范围是( )