第5课时　用向量计算空间角

基础达标(水平一 )

1.已知直线l1上有A(1,1,1),B(-1,0,4)两点,直线l2上有C(3,-2,1),D(2,1,-1)两点,则异面直线l1与l2所成的角为(　　).

　　A.π/6　 　　B.5π/6　　 　C.π/3　　 　D.2π/3

　　【解析】l1的方向向量为(AB) ⃗=(-2,-1,3),l2的方向向量为(CD) ⃗=(-1,3,-2),设l1与l2的夹角为θ,

　　则有cos θ=|cos<(AB) ⃗,(CD) ⃗>|=1/2,故直线l1与l2所成的角为π/3.

　　【答案】C

2.已知E,F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,AD的中点,则直线EF与平面BDD1B1所成的角的正弦值为(　　).

　　A.√2/6 B.√3/6 C.1/3 D.√6/6

　　【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点D1(0,0,0),F(1,0,2),E(2,2,1),A1(2,0,0),C1(0,2,0),

　　则(EF) ⃗=(-1,-2,1).显然(A_1 C_1 ) ⃗为平面BDD1B1的一个法向量,(A_1 C_1 ) ⃗=(-2,2,0),

　　设EF与平面BDD1B1所成的角为θ,

　　则sin θ=|cos<(EF) ⃗,(A_1 C_1 ) ⃗>|

　　=("|" (EF) ⃗"·" (A_1 C_1 ) ⃗"|" )/("|" (EF) ⃗" " (A_1 C_1 ) ⃗"|" )=√3/6.

　　【答案】B

3.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形中心,则折起后,∠EOF的大小为(　　).

　　A.60° B.90° C.120° D.150°

　　【解析】∵(OE) ⃗=1/2((OA) ⃗+(OD) ⃗),(OF) ⃗=1/2((OB) ⃗+(OC) ⃗),

　　∴(OE) ⃗·(OF) ⃗=1/4((OA) ⃗·(OB) ⃗+(OA) ⃗·(OC) ⃗+(OD) ⃗·(OB) ⃗+(OD) ⃗·(OC) ⃗)=-1/4|(OA) ⃗|2.

　　又∵|(OE) ⃗|=|(OF) ⃗|=√2/2|(OA) ⃗|,

　　∴cos<(OE) ⃗,(OF) ⃗>=("-" 1/4 "|" (OA) ⃗"|" ^2)/(1/2 "|" (OA) ⃗"|" ^2 )=-1/2,∴∠EOF=120°,故选C.

　　【答案】C

4.正方形ABCD所在平面外有一点P满足PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　).

A.30° B.45° C.60° D.90°