1.3.2极大值与极小值

一、单选题

1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)

A．1/ln2 B．－1/ln2

C．－ln 2 D．ln 2

【答案】B

【解析】

【分析】

对函数求导，由y'=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，即可得出结论．

【详解】

y'=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，

即1+xln2=0，x=﹣1/ln2．

函数在(-∞，﹣1/ln2)上单调递减，在(﹣1/ln2，+∞)上单调递增，

∴函数的极小值点为﹣1/ln2

故选：B．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．

2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－6，0) B．(－6，－√6) C．(-7/2,0) D．(-7/2,-√6)

【答案】B

【解析】

【分析】

函数f(x)＝x3＋ax2＋2x在[0，2]上既有极大值也有极小值，∴f'(x)＝0在(0，2)上有两个不同的实数根, {█(f^' (0)=2>0@f^' (2)=14+4a>0@0<-a/3<2@f^' (-a/3)<0) 求解即可.

【详解】

由函数f(x)＝x3＋ax2＋2x，得f'(x)＝3x2＋2ax＋2.∵函数f(x)＝x3＋ax2＋2x在[0，2]上既有极大值也有极小值，∴f'(x)＝0在(0，2)上有两个不同的实数根，∴{█(f^' (0)=2>0@f^' (2)=14+4a>0@0<-a/3<2@f^' (-a/3)<0) 解得－7/2＜a＜－√6.∴实数a的取值范围是－7/2＜a＜－√6.

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了导数在研究函数的极值中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。

3．函数y=(〖ln〗^2 x)/x的极小值为（　　）