课时跟踪训练(二)　充分条件和必要条件

　　1．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的________条件．(在"充分不必要""必要不充分""充要""既不充分又不必要"中选填一个)

　　解析：由2x＞20⇒x>0，且{x|1＜x＜2}{x|x>0}可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件．

　　答案：充分不必要

　　2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.

　　解析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.

　　答案：－1

　　3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

　　①"a＝b"是"ac＝bc"的充要条件；

　　②"a>b"是"a4>b4"的充分条件；

　　③"a<5"是"a<3"的必要条件；

　　④"a＋5是无理数"是"a是无理数"的充要条件．

　　其中真命题的序号为________．

　　解析：①"a＝b"是ac＝bc的充分不必要条件，故①错，②a>b是a4>b4的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．

　　答案：③④

　　4．设a，b是向量，则"|a|＝|b|"是"|a＋b|＝|a－b|"的____________条件．

　　解析：由|a＋b|＝|a－b|可得a⊥b.所以"|a|＝|b|"是"|a＋b|＝|a－b|"的既不充分也不必要条件．

　　答案：既不充分也不必要

　　5．若"x2＞1"是"x＜a"的必要不充分条件，则a的最大值为________．

　　解析：由x2＞1，得x＜－1或x＞1.

　　又"x2＞1"是"x＜a"的必要不充分条件，

　　知由"x＜a"可以推出"x2＞1"，反之不成立，

　　所以a≤－1，即a的最大值为－1.

　　答案：－1

　　6．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

证明：(1)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和