习题课--导数的综合应用

课后训练案巩固提升

A组

1.函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间是(　　)

A.(2,+∞) B.(-∞,2)

C.(-∞,0) D.(0,2)

解析:由f'(x)=3x2-6x<0,得0

　　故函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间为(0,2).

答案:D

2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上(　　)

A.无最值 B.有极值

C.有最大值 D.有最小值

解析:∵f'(x)=2+sin x>0恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增加的.故函数f(x)在(-∞,+∞)上无极值,也无最值.

答案:A

3.对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.[-2,2] B.[0,2]

C.[-2,+∞) D.[-4,+∞)

解析:当x=0时,1≥0成立,当x≠0时,x2>0,∴不等式x4+ax2+1≥0恒成立,转化为a≥(("-" 1"-" x^4)/x^2 )_max.

　　令t=x2(t>0),f(t)=("-" 1"-" t^2)/t=-t-1/t,

　　∴f'(t)=-1+1/t^2 .

　　当f'(t)>0时,01,∴当t=1时,f(t)max=-2,即(("-" 1"-" x^4)/x^2 )_max=-2.∴a≥-2.

答案:C

4.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于(　　)

A.2 B.1

C.-1 D.-2

解析:∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc.

　　又∵(b,c)是函数y=3x-x3的极大值点,

　　∴c=3b-b3,且0=3-3b2.

∴{■(b=1"," @c=2"," )┤或{■(b="-" 1"," @c="-" 2)┤(舍去).∴ad=2.