第2课时　直线与椭圆的位置关系

课时过关·能力提升

1.椭圆4x2+9y2=36的左焦点到直线y=2x-√5 的距离为(　　)

A.1 B.2√5

C.3 D.√3

解析:椭圆可化为标准方程为 x^2/9+y^2/4=1.

　　∴左焦点坐标为(-√5,0),直线为2x-y-√5=0.

　　∴左焦点到直线2x-y-√5=0的距离d=("|-" 2√5 "-" √5 "|" )/√5=3.

答案:C

2.已知椭圆 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若(AP) ⃗=2(PB) ⃗,则椭圆的离心率是(　　)

A.√3/2 B.√2/2

C. 1/3 D.1/2

解析:由题意知,F(-c,0),A(a,0),B("-" c"," ±b^2/a).

　　∵BF⊥x轴,∴AP/PB=a/c.

　　又∵(AP) ⃗=2(PB) ⃗,

　　∴a/c=2,即e=c/a=1/2.

答案:D

3.已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为(　　)

A.√5/3 B.2/3

C.√2/2 D.5/9

解析:如图,设椭圆的另一个焦点为F1,PF与圆相切于点A,且A为PF的中点.

　　又O为F1F的中点,

　　∴|PF1|=2|AO|=2b.

　　∴|PF|=2a-2b.

　　∴("|" PF"|" )/2=|AF|=a-b.

　　在Rt△OAF中,|OA|=b,|OF|=c,

　　∴c2=b2+(a-b)2,即3b=2a.

　　令a=3,则b=2,c=√5,∴e=√5/3.

答案:A

4.若直线3x-y-2=0截焦点为(0,±5√2)的椭圆所得弦的中点横坐标是 1/2,则该椭圆的方程是(　　)

A. (2x^2)/25+(2y^2)/75=1

B.(2x^2)/75+(2y^2)/25=1

C.x^2/25+y^2/75=1