§2　导数在实际问题中的应用

2.1　实际问题中导数的意义

课时过关·能力提升

1.一次降雨过程中,降雨量y是时间t的函数,用y=f(t)表示,则f'(10)表示(　　)

A.t=10时的降雨强度 B.t=10时的降雨量

C.t=10时的时间 D.t=10时的温度

解析:f'(t)表示t时刻的降雨强度.

答案:A

2.已知圆的面积S是半径r的函数S(r)=πr2,那么在r=3时,面积的变化率是(　　)

A.6 B.9 C.9π D.6π

解析:面积S在r=3时的变化率为S'(3)=2π×3=6π.

答案:D

3.设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的函数关系为v=v(t)=t3+3t,则t=t0 s时轿车的加速度为(　　)

A.t_0^3+3t0 B.3t_0^2+3

C.3t_0^3+3t0 D.t_0^3+3

解析:v'(t)=3t2+3,则当t=t0 s时的速度变化率为v'(t0)=3t_0^2+3(m/s2),则t=t0 s时轿车的加速度为(3t_0^2+3)m/s2.

答案:B

4.某人拉动一个物体前进,他所做的功W是时间t的函数W=W(t),则W'(t0)表示(　　)

A.t=t0时做的功 B.t=t0时的速度

C.t=t0时的位移 D.t=t0时的功率

解析:因为功率是功关于时间的导数,故选D.

答案:D

5.从时刻t=0开始的t s内,通过某导体的电荷量(单位:C)可由公式q=2t2+3t表示,则第5 s时电流强度为(　　)

A.27 A B.20 A C.25 A D.23 A

解析:某导体的电荷量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度.

　　∵q'=4t+3,∴当t=5时,电流强度为4×5+3=23(A).

答案:D

6.某物体的位移是时间的函数s=2t3-at,物体在t=1时的速度为8,则a的值为　　　　　.

解析:∵s'=6t2-a,由题意知6×12-a=8,∴a=-2.

答案:-2

7.某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明:一个中等技术水平的工人,从8:00开始工作,t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)=-t3+9t2+12t,则Q'(2)=　　　　　,它的实际意义是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.

解析:∵Q'(t)=-3t2+18t+12,∴Q'(2)=36台/时.

答案:36台/时　10:00时,工人装配晶体管收音机的速度为36台/时

8.已知某商品价格P(单位:元)与时间t(单位:年)有函数关系式P(t)=(1+10%)t,那么在第8个年头此商品价格的变化速度是　　　　　　　　　　.

解析:P'(t)=1.1tln 1.1,

　　∴P'(8)=1.18ln 1.1(元/年).

答案:1.18ln 1.1元/年

9.蜥蜴的体温与阳光的照射强度有关,其关系为T(t)=120/(t+5)+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).

(1)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少?

(2)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?