[基础达标]

　　对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)．

　　①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；

　　②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；

　　③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；

　　④若a·b＝a·c，则b＝c.

　　解析：①中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0.

　　③中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.

　　④中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.

　　答案：②

　　已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．

　　解析：因为a与2b－a互相垂直，所以a·(2b－a)＝0.

　　即2a·b－a2＝0.所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，

　　所以cos〈a，b〉＝，所以a与b的夹角为45°.

　　答案：45°

　　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________．

　　解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13.

　　答案：

　　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________．

　　解析：|2e1－e2|2＝4e－4e1·e2＋e＝4－4×1×1×cos 60°＋1＝3，∴|2e1－e2|＝.

　　答案：

　　若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为__________．

　　解析：a·c＝a·[a－()b]＝a·a－()b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c.

　　答案：90°

　　已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

　　解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，

　　∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，

　　∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.

　　答案：－13

　　已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．

　　解析：cos〈a，b〉＝，

　　∵夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0，且a，b不共线，

　　∴3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.

答案：x<－4