1.3 导数在研究函数中的应用

1.3.1 单调性

5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）

1.当x∈(0,)时，下列说法正确的是( )

A.sinx>x B.cosx>x C.tanx>x D.cotx

答案：C

2.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则( )

A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a≤

答案：A

解析：f′(x)=3ax2-1≤0恒成立，即a≤0.

3.函数f(x)=1+x-sinx在（0,2π）上是( )

A.增函数 B.减函数

C.在（0,π）上增，在（π,2π）上减 D.在（0，π）上减，在（π,2π）上增

答案：A

解析：f′(x)=1-cosx>0恒成立，所以f(x)在（0，2π）上为增函数.

4.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围是_____________.

解析：因为f(x)=x3+x2+mx+1在R上单调.

f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能递增,所以Δ=4-12m<0.所以m>.

答案:m>

10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）

1.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于( )

A.0 B.-4 C.-2 D.2

答案：B

解析：f′(x)=2x+2f′(1),可令x=1,则f′(1)=-2,∴f′(0)=-4.

2.设f(x)在(a,b)内可导,则f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案：A

3.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1的单调减区间为(-2,0),则p值的集合为__________.

解析：∵f′(x)=3x2-2px,而g(x)=f′(x)=3x2-2px的图象为开口向上并过原点的抛物线,由于f(x)的单调减区间为(-2,0),∴g(x)在(-2,0)上为负值,在(-∞,-2)及(0,+∞)上为正值,故g(-2)=0,即12+4p=0.∴p=-3.

答案:{-3}

4.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2相切,则k的值为__________.

解析：y′=3x2-6x的切点坐标为(x0,y0),则=3x02-6x0,又y0=x03-3x02.所以切点坐标为x0=0或x0=3±.∴k=0或3±.