1.1　定积分的背景--面积和路程问题

1.函数f(x)=x2在区间[(i"-" 1)/n "," i/n]上(　　)

A.f(x)的值变化很小

B.f(x)的值变化很大

C.f(x)的值不变化

D.当n很大时,f(x)的值变化很小

答案:D

2.由直线x=1,y=0,x=0和曲线y=4x3所围成的曲边梯形,若将区间4等分,则该曲边梯形面积的过剩估计值是(　　)

A.25/8 B.25/64 C.25/128 D.25/16 学 ZXXK]

解析:将区间[0,1]4等分,得到4个小区间[0"," 1/4],[1/4 "," 1/2],[1/2 "," 3/4],[3/4 "," 1],以每个小区间右端点的函数值为高,4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的过剩估计值,即为[(1/4)^3×4+(1/2)^3×4+(3/4)^3×4+1^3×4]×1/4=25/16.

答案:D

3.求由直线x=1,x=2,y=0和曲线f(x)=1/x围成的图形的面积时,如果将给定区间n等分,且以每个小区间的右端点函数值为高作矩形,那么第i个小矩形的面积等于　　　　.

解析:将区间[1"," 2]进行n等分,每个小区间的长度为1/n,第i个小区间为[1+(i"-" 1)/n "," 1+i/n],于是第i个小矩形的面积为f(1+i/n)·Δx=1/(1+i/n)·1/n=1/(n+i).

答案:1/(n+i)

4.已知某物体运动的速度为v=t,t∈[0,10],若把该区间10等分,以每个小区间右端点处的函数值为高作小矩形,则该物体在这段时间内运动的路程的过剩估计值为　　　　　　.

解析:每个区间的长度为1,第i个小区间为[i"-" 1"," i](i=1,2,...,10),于是第i个小矩形的面积为i·1=i,故物体运动的路程的过剩估计值为("∑" ┬(i=1))┴10i=1+2+...+10=55. 学 ]

答案:55

5.某物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)=5t(t的单位:h,v的单位:km/h),估计该物体在区间[2,8]这段时间内运动的路程时,若把区间6等分,则不足估计值为　　　　　km.