第4课时　空间向量的平行、垂直关系

基础达标(水平一 )

1.若平面α,β的法向量分别为a=(1/2 ",-" 1"," 3),b=(-1,2,-6),则(　　).

　　A.α∥β B.α与β相交但不垂直

　　C.α⊥β D.α∥β或α与β重合

　　【解析】∵b=-2a,∴b∥a,∴α∥β或α与β重合.

　　【答案】D

2.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(　　).

　　A.(1,-1,1) B.(1"," 3"," 3/2)

　　C.(1",-" 3"," 3/2) D.("-" 1"," 3",-" 3/2)

　　【解析】对于选项A,(PA) ⃗=(1,0,1),则(PA) ⃗·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,A错误;

　　对于选项B,(PA) ⃗=(1",-" 4"," 1/2),则(PA) ⃗·n=(1",-" 4"," 1/2)·(3,1,2)=0,B正确;

　　对于选项C,(PA) ⃗=(1"," 2"," 1/2),则(PA) ⃗·n=(1"," 2"," 1/2)·(3,1,2)=6≠0,C错误;

　　对于选项D,(PA) ⃗=(3",-" 4"," 7/2),则(PA) ⃗·n=(3",-" 4"," 7/2)·(3,1,2)=12≠0,D错误.故选B.

　　【答案】B

3.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=√2,则平面OCB1的法向量n=(x,y, )为(　　).

　　　　A.(1,0,1) B.(1,-1,1)

　　C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1)

　　【解析】∵四边形ABCD是正方形,且AB=√2,

　　∴AO=OC=1,(OC) ⃗=(0,1,0).

　　又∵点A(0,-1,0),B(1,0,0),

　　∴(AB) ⃗=(1,1,0),(A_1 B_1 ) ⃗=(1,1,0).

　　又∵OA=1,AA1=√2,

　　∴OA1=√(2"-" 1)=1,

　　∴(OA_1 ) ⃗=(0,0,1),(OB_1 ) ⃗=(OA_1 ) ⃗+(A_1 B_1 ) ⃗=(1,1,1).

　　又∵向量n=(x,y, )是平面OCB1的法向量,

　　∴(OC) ⃗·n=y=0,(OB_1 ) ⃗·n=x+y+ =0,

　　∴y=0,x=- ,

　　结合选项可知,当x=1时, =-1,n=(1,0,-1).

　　故选C.

【答案】C