∴∴f(n)=(n2-n-1)lga.

证明如下:(1)当n=1时,显然成立.

(2)假设n=k时成立,即f(k)=(k2-k-1)lga,则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga

=(k2-k-1+k)lga=［(k+1)2-(k+1)-1］lga.

∴当n=k+1时,等式成立.

综合(1)(2),可知存在实数α,β且α=,β=-,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立.

拓展探究

10是否存在常数a,b,c使等式1·(n2-12)+2(n2-22)+...+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.

思路分析:先取n=1,2,3探求a,b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a,b,c所确定的等式都成立.

解:分别用n=1,2,3代入解方程组

下面用数学归纳法证明.

(1)当n=1时,由上可知等式成立;

(2)假设当n=k时,等式成立,

则当n=k+1时,

左边=1·［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+...+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=1·(k2-12)+2(k2-22)+...+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+...+k(2k+1)

=k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+...+k(2k+1)=(k+1)4-(k+1)2.

∴当n=k+1时,等式成立.

由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.

备选习题

11如图,第n个图形是由正n+2边形"扩展"而来(n=1,2,3,...),则第n-2个图形中共有______个顶点.

解析:观察规律,第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2);