解析:如图,该等边三角形的面积为 √3/4×42=4√3.

而图中阴影部分(即到三个顶点的距离都大于1的区域)的面积为△ABC的面积减去三个圆心角为 π/3,且半径为1的扇形的面积,即阴影部分的面积为4√3-3×1/2×π/3×12=4√3-π/2.

于是蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为 (4√3 "-" π/2)/(4√3)=1-(√3 π)/24.

答案:1-(√3 π)/24

10.已知-2≤x≤2,-2≤y≤2,点P的坐标为(x,y).

(1)求当x,y∈R时,点P的坐标满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率;

(2)求当x,y∈Z时,点P的坐标满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.

解(1)如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).

所以所求的概率为 ( 1/4 π×2^2)/(4×4)=π/16.

(2)满足x,y∈Z,且-2≤x≤2,-2≤y≤2的点(x,y)有25个,满足x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4的点(x,y)有6个.

所以所求的概率为 6/25.

★11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,在正方体内随机取一点M.

(1)求点M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率P1;

(2)求点M落在三棱锥B-A1B1C1内的概率P2;

(3)求点M到平面ABCD的距离大于 a/3 的概率P3;

(4)求点M到平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于 a/3 的概率P4.

解V正方体=a3.

(1)∵V三棱柱=1/2 a^2·a=1/2 a^3,

∴所求概率P1=1/2.

(2)∵V三棱锥=1/3·S_("△" A_1 B_1 C_1 )·BB1=1/3·1/2 a^2·a=1/6 a^3,∴所求概率P2=1/6.

(3)所求概率P3=(a^2 "·" (a"-" a/3))/a^3 =2/3.

(4)所求概率P4=(a^2 "·" (a"-" a/3 "-" a/3))/a^3 =1/3.