两边同时积分得:∫_0^(1/2)▒〖1dx+〗 ∫_0^(1/2)▒〖xdx+〗 ∫_0^(1/2)▒〖x^2 dx+〗⋯+∫_0^(1/2)▒〖x^n dx〗=∫_0^(1/2)▒〖1/(1-x) dx〗
从而得到如下等式:1×1/2+1/2×〖(1/2)〗^2+1/3×〖(1/2)〗^3+⋯+1/(n+1)×〖(1/2)〗^(n+1)+⋯=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,
由二项式定理Cn0+Cn1x+Cn2x2+•••+Cnnxn=(1+x)n计算:
C_n^0×1/2+1/2 C_n^1×〖(1/2)〗^2+1/3 C_n^2×〖(1/2)〗^3+⋯+1/(n+1) C_n^n×〖(1/2)〗^(n+1)=__________
16.定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0,且当x>0时,不等式f(x)>﹣xf'(x)恒成立,则函数g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为_______.
三、解答题
17.已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x﹣1)=2x2﹣4x,
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(2x)﹣m•2x+1,其中x∈[0,1],m为常数且m∈R,求函数g(x)的最小值.
18.如图所示,在△ABC中,D是BC边上的一点,且AB=14,BD=6,∠ADC=π/3,cosC=(2√7)/7.
(Ⅰ)求sin∠DAC;
(Ⅱ)求AD的长和△ABC的面积.
19.日照一中为了落实"阳光运动一小时"活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)若在矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪.已知:矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37k/√S,草坪的每平方米的造价为12k/√S(k为正常数).设总造价T关于S的函数为T=f(S),试问:如何选取|AM|的长,才能使总造价T最低.
20.已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+...+nan=(n+1)/2 a_(n+1)(n∈N*)
(Ⅰ)证明当n≥2时,数列{nan}是等比数列,并求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{n2an}的前n项和Tn;
(Ⅲ)对任意n∈N*,使得n/3^(n-1) a_(n+1)≤(n+6)λ 恒成立,求实数λ的最小值.
21.已知函数f(x)=1/2 x^2+(k-1)x-k+3/2,g(x)=xlnx.
(Ⅰ)若函数g(x)的图象在(1,0)处的切线l与函数f(x)的图象相切,求实数k的值;
(Ⅱ)当k=0时,证明:f(x)+g(x)>0;
22.已知函数f(x)=2alnx-2(a+1)x+x^2 (a≤1).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[1/e,e^2]上有两个零点,求a的取值范围.