1.2 基本不等式

一、单选题

1．设正实数x，y满足x>1/2，y>1，不等式(4x^2)/(y-1)+y^2/(2x-1)≥m恒成立，则m的最大值为（ ）

A．2√2 B．4√2 C．8 D．16

【答案】C

【解析】

设a=2x-1,b=y-1

因为x>1/2，y>1，∴a>0,b>0 且y=b+1,x=1/2(a+1) ，

则(4x^2)/(y-1)+y^2/(2x-1)=〖(a+1)〗^2/b+〖(b+1)〗^2/a≥2√((〖(a+1)〗^2 〖(b+1)〗^2)/ab)=2×(√ab+1/√ab+(a+b)/√ab)

≥2×(2√(√ab×1/√ab)+(2√ab)/√ab)2×(2+2)=8

当且仅当a=b=1 ，即x=2,y=1 时取等号，所以m≤8 故选C.

点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

2．若正实数a,b满足1/a+2/b=√ab，则ab的最小值为（ ）

A．2√2 B．2 C．√2 D．4

【答案】A

【解析】

∵正实数a,b满足1/a+2/b=√ab，∴√ab=1/a+2/b≥2√(1/a⋅2/b)=2√(2/ab) ，

∴ab≥2√2，当且仅当1/a=2/b即a=∜2且b=2∜2时取等号，故选A.

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提"一正、二定、三相等"的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意"拆""拼""凑"等技巧，使其满足基本不等式中"正""定""等"的条件．

3．若不等式|2a-1|≤|x+1/x|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．[-1,2] B．[1,2] C．[-1/2,3/2] D．[0, 3/2]

【答案】C

【解析】因|x+1/x|=|x|+|1/x|≥2，故|2a-1|≤2，解之得-2≤2a-1≤2，即-1/2