如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列命题中正确的是________．

　　①EF至多与A1D、AC之一垂直；

　　②EF是A1D、AC的公垂线；

　　③EF与BD1相交；

　　④EF与BD1异面．

　　解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)．则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，所以\s\up6(→(→)＝(－1，0，－1)，\s\up6(→(→)＝(－1，1，0)，\s\up6(→(→)＝，\s\up6(→(→)＝(－1，－1，1)，\s\up6(→(→)＝－\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.

　　答案：②

　　已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长，求证：EF∥平面BB1C1C.

　　证明：建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，

　　则E(，，0)，F(0，，)，

　　故\s\up6(→(→)＝(－，0，)，

　　又\s\up6(→(→)＝(0，a，0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，

　　而\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝(0，a，0)·(－，0，)＝0，∴\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→).

　　又EF⊄平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.

　　如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．求证：平面ADE⊥平面A1FG.

证明：连结D1F，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为1.