∵x≠0,

∴1+2x+x2＞1+2x,∴左边＞右边，不等式成立.

(2)假设当n=k时，不等式成立，即(1+x)k＞1+kx成立，

则当n=k+1时，左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x).

∵x＞-1,∴1+x＞0.∴(1+x)k(1+x)＞(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2.∵x≠0,

∴1+(k+1)x+kx2＞1+(k+1)x.

∴(1+x)k+1＞1+(k+1)x成立,

即当n=k+1时不等式成立.

由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2都成立.

8.设n∈N*，证明4×6n+5n+1除以20的余数为9.

思路分析：本题研究余数问题实质上是20的倍数再加9.也可看作是4×6n+5n+1-9被20整除.整除性问题可用数学归纳法证明.

证明：(1)当n=1时，4×61+52=24+25=49=2×20+9命题成立.

(2)假设当n=k时命题成立,即4×6k+5k+1被20除余9，即4×6k+5k+1-9被20整除,

则当n=k+1时，4×6k+1+5k+2-9

=6×(4×6k+5k+1-9)-6×5k+1+5k+2+45

=6×(4×6k+5k+1-9)+45-5k+1.

∵6×(4×6k+5k+1-9)被20整除,只需证45-5k+1被20整除.

①当n=1时,451-51+1=45-25=20被20整除成立;

②假设当n=k时成立,即45-5k+1被20整除，

则当n=k+1时，45-5k+2=(45-5k+1)×5-180能被20整除，∴当n=k+1时成立.

∴45-5k+1都能被20整除.

∴当n=k+1时原命题成立.

由(1)(2)可知命题成立.

9.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+...+b10=100.

(1)求数列{bn}的通项bn;

(2)设数列{an}的通项an=lg(1+),记Sn为{an}的前n项和,试比较Sn与的大小，并证明你的结论.

思路分析：本题为综合性问题，在比较Sn与的大小时，不易比较,可通过观察、归纳、猜想证明解答.

解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得

(2)由bn=2n-1，知Sn=lg(1+1)+lg(1+)+...+lg(1+)=lg［(1+1)(1+)(1+)...(1+)］,