解得xQ=+x0.易得xK=x0.

∴|KQ|=|xQ-xK|=.

10.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.

(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.

(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.

答案：(1)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12.①

函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a.②

如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程，消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).

由Δ=0,得a=,解得x1=,此时P与Q重合,即当a=时,C1和C2有且仅有一条公切线.

由①得公切线方程为y=x-.

(2)证明:由(1)可知当a<时,C1和C2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a,线段PQ的中点为(,).

同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(,),所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.