解析：如图所示，设直线PA与QB的交点为M(x，y)．

　　再设A(a，0)(a≠0)，则B(a＋1，0)．

　　由截距式得直线PA的方程为＋＝1，即x＋ay＝a.

　　由两点式得直线QB的方程为＝，

　　即2x＋ay－2a－2＝0.

　　故点M的坐标是方程组的解，

　　消去参数a得(2－x)y＝2，

　　故点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.

　　答案：(2－x)y＝2

　　曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：

　　①曲线C过坐标原点；

　　②曲线C关于坐标原点对称；

　　③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.

　　其中，所有正确结论的序号是________．

　　解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由PF1·PF2＝a2，可得 ·＝a2(a＞1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故①不正确．

　　∵点P(x，y)在曲线C上，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝PF1·PF2·sin θ＝a2sin θ≤a2，故③正确．

　　答案：②③

　　△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．

　　解：如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)．

　　设△ABC的外心为M(x，y)，

　　作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线．

　　∵BC＝2a，∴BN＝a，MN＝|y|.

　　又M是△ABC的外心，∴MA＝MB.

　　而MA＝，

　　MB＝ ＝ ，

　　∴ ＝ .

化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.