6.证明1++...+>(n∈N*)，假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项有______________项.

解析:2k+1-1-2k+1=2k.

答案:2 k

7.数列{an}满足Sn=2n-an,先计算数列的前4项，后猜想an并证明之.

解:由a1=2-a1,得a1=1,

由a1+a2=2×2-a2,得a2=.

由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=.

由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.

猜想an=.

下面证明猜想正确.

(1)当n=1时，由上面的计算可知猜想是成立的.

(2)假设当n=k时猜想成立，那么ak=,

此时Sk=2k-ak=2k.

当n=k+1时,由Sk+1=2(k+1)-ak+1得

Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1.

∴ak+1=［2(k+1)-Sk］

=k+1(2k)=.

这就是说，当n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可以断定,an=对任意正整数n都成立.

8.已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且满足下列条件：

①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,且f(1)=4；

②若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤2,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3.

(1)求f(0)的值.

(2)求证：f(x)≤4.

(3)当x∈(,］（n=1,2,3,...)时，试证明f(x)<3x+3.

解析：（1）令x1=x2=0,由①对于任意x∈［0，1］，总有f(x)≥3,∴f(0)≥3.

又由②得f(0)≥2f(0)-3,即f(0)≤3;