线平行,证明x1+g(x2)=-(2ln"(" lna")" )/lna.

(Ⅲ)证明当a≥e^(1/e)时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.

【命题意图】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.

【解析】(I)由已知,h(x)=ax-xlna,有h'(x)=axlna-lna.

令h'(x)=0,解得x=0.

由a>1,可知当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表:

x (-∞,0) 0 (0,+∞) h'(x) - 0 + h(x) ↘ 极小值 ↗ 所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).

(II)由f'(x)=axlna,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为a^(x_1 )lna.

由g'(x)=1/xlna,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为1/(x_2 lna).

因为这两条切线平行,故有a^(x_1 )lna=1/(x_2 lna),即x2a^(x_1 )(lna)2=1.

两边取以a为底的对数,得logax2+x1+2loga(lna)=0,所以x1+g(x2)=-(2ln"(" lna")" )/lna.

(III)曲线y=f(x)在点(x1,a^(x_1 ))处的切线l1:y-a^(x_1 )=a^(x_1 )lna·(x-x1).

曲线y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2:y-logax2=1/(x_2 lna)(x-x2).