=<=2.

9(1)a、b∈R,且|a|≠|b|,求证:≥|a|-|b|.

(2)a、b∈R,c>0,求证:|a+b|2≤(1+c)|a|2+(1+)|b|2.

证明:(1)观察要证的不等式的左、右端,可以发现应用不等式|a-b|≥|a|-|b|的可能性.

∵=

=·(|a|+|b|)

=||a|-|b||(1+)

≥||a|-|b||≥|a|-|b|.

∴原不等式成立.

(2)右式=|a|2+|b|2+c|a|2+|b|2

≥|a|2+|b|2+=(|a|+|b|)2≥|a+b|2=左边,

∴原不等式成立.

拓展探究

10对定义在［-1,1］上的函数f(x),若存在常数A>0,使得对任意x1、x2∈［-1,1］,都有|f(x1)-f(x2)|≤A·|x1-x2|,则称f(x)具有性质L.问函数f(x)=x2+3x+5与g(x)=|是否具有性质L?试证明之.

思路分析:要确定一个函数具有性质L,其关键是要能找到满足题设条件中的常数A,而要确定一个函数不具有性质L,则一般需通过反证法来证明或寻找一个反例.

解析:(1)对于f(x)=x2+3x+5,任取x1、x2∈［-1,1］,

|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22+3(x1-x2)|=|(x1-x2)(x1+x2+3)|

=|x1-x2|·|x1+x2+3|

≤|x1-x2|·(|x1|+|x2|+3)

≤5|x1-x2|.

∴存在A=5,使f(x)具有性质L.

(2)对于g(x)=,设它具有性质L,任取x1、x2∈［0,1］,则|g(x1)-g(x2)|=|-|

=≤A|x1-x2|,