∴(PM) ⃗·(QN) ⃗=0.

　　∴(PM) ⃗⊥(QN) ⃗,即PM⊥QN.

10如图,已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量(A_1 C_1 ) ⃗与(DE) ⃗夹角的余弦值.

解:设正方体的棱长为m,(AB) ⃗=a,(AD) ⃗=b,(AA_1 ) ⃗=c,

　　则|a|=|b|=|c|=m,a·b=b·c=a·c=0.

　　∵(A_1 C_1 ) ⃗=(A_1 B_1 ) ⃗+(A_1 D_1 ) ⃗=(AB) ⃗+(AD) ⃗=a+b,(DE) ⃗=(DD_1 ) ⃗+(D_1 E) ⃗=(DD_1 ) ⃗+1/2 (D_1 C_1 ) ⃗=c+1/2a,

　　∴(A_1 C_1 ) ⃗·(DE) ⃗=(a+b)·(c+1/2 a)=a·c+b·c+1/2a2+1/2a·b=1/2a2=1/2m2.

　　又|(A_1 C_1 ) ⃗|=√2m,|(DE) ⃗|=√5/2m,

　　∴cos<(A_1 C_1 ) ⃗,(DE) ⃗>=((A_1 C_1 ) ⃗"·" (DE) ⃗)/("|" (A_1 C_1 ) ⃗" " (DE) ⃗"|" )

　　=(1/2 " " m^2)/(√5/2 m"·" √2 m)=√10/10.

能力提升

1已知a,b是异面直线,且a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)

A.-6 B.6

C.3 D.-3

解析:∵a⊥b,∴a·b=(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=2k|e1|2+(3k-8)e1·e2-12|e2|2=2k-12=0,

　　∴k=6.

答案:B