由a2+b2+c2≥ab+bc+ca，在这不等式两边同时加上2(ab+bc+ca)，可得

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)，所以a+b+c≥.

于是S≥.

这里，当且仅当a=b=c=时，S取得最小值.

答案：

5.已知a,b∈R，求证：a2+b2≥2ab.

证明：∵(a2+b2)2=(a2+b2)(b2+a2)≥(ab+ba)2=4(ab)2，

∴a2+b2≥2|ab|≥2ab.

6.已知a,b,c,x,y,z∈R，求证：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2.

思路分析：该不等式比二维形式的柯西不等式多了一对变量c、z,如果我们把,看成一对，也一样可以应用柯西不等式来证明.

证明：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥［a2+()2］［x2+(］

≥(|a||x|+·)2=［(|ax|+］

≥［|ax|+］2=|ax|+|by|+|cz|)2≥(ax+by+cz)2.

综合·应用

7.设x1,x2,...,xn∈R+，定义Sn=2,在x1+x2+...+xn=1条件下，则Sn的最小值为______________.

思路分析：因为［］2≤()·2,

所以Sn=2≥［］2≥［1+·n2］2=n.

当x1=x2=...=xn=时，取到最小值n.

答案：n

8.求证：.

思路分析：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的.

证明：