10.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

解:(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,

　　故x==10,当且仅当k=1时取等号.

　　所以炮的最大射程为10千米.

　　(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.

　　所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.

11.某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m≥0)满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).

(1)将2016年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数;

(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润.

解:(1)由题意知,当m=0时,x=1,

　　∴1=3-,即k=2.∴x=3-.

　　∵每件产品的销售价格为元,

　　∴2016年的利润y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0).

　　(2)当m≥0时,+(m+1)≥2=8,

　　则y≤-8+29=21,当且仅当=m+1(m≥0),即m=3时,ymax=21.

　　即该厂家2016年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.