则所用材料l＝2y＋x＝2y＋(y>0)，求导数，得l′＝2－.

令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．

当016时，l′>0.所以y＝16是函数l＝2y＋(y>0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.

所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．故选A.

知识点三 利润最大问题

4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　)

A．6千台 B．7千台

C．8千台 D．9千台

答案　A

解析　设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，

∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．

5．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．

(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．

解　(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：

L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，

即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8,11]．

(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，

∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)

＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，

令L′(x)＝0得x＝12或x＝，

由于x∈[8,11]，所以取x＝，

当x∈时，L′(x)>0；x∈时，L′(x)<0，

所以当x＝时，L(x)在[8,11]上取得极大值，也是最大值，

L＝(万元)．

故当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大利润是万元.

易错点 导数在实际问题中的应用